Geogebra在高中数学教学中的应用

因为跟学生讲课的许多时刻,涉及到一些图形变化,我觉得单纯的语言讲述特别干瘪,程度好的学生还好,基本讲完了后,用点心感受,都能自行想象出来,但差一点的学生,无论于我而言多么易于理解,但我的讲述于他而言就是“天书”,就是“外星语言”,为了沟通这“两个世界”的语言,我觉得迫切需要一个“翻译中枢”——图形语言

在这之前,一直都是用word自带的作图工具编辑图形,当然,用着用着,就无法忍受这些低级操作了,作一个三角函数图像就神烦,好不容易作好后,又丑陋不堪,尤其是一些对于图形精确度要求较高的图形,比如要说明在(0,π/2)上,sinx<x<tanx,作的图像怎么都有交点,拿这样的图给学生讲解,简直就是边讲边打自己脸

所以,那个冬天,铁了心要改变这种无力感,于是一顿猛如虎地搜索操作后,发现了Geogebra,并且痴迷式地摸索了一整天,发现它真的是理想中的完美数学作图工具,高中及以下阶段用起来绰绰有余。

当然我之前也知道“几何画板”这个东西,还被培训过,但一直觉得不好用,重点是它是收费的!收费的!收费的!而恰恰我穷,恰恰Geogebra没有因为免费而功能很low,相反比起几何画板有过之而无不及,如果把几何画板比作赵敏周芷若,那Geogebra就好比小昭,看似低微婢女,正经职业却是明教总教教主,才能城府、气质美貌均在二女之上,非常强大

下面介绍Geogebra(简称GGB)的一些主要使用范围和方法

1.作图编辑。这是它的主要功能,包含平面作图、和立体作图,我们以几个例子说明,比如作2018春考关于金拱门的那题的图,如下所示,

左边这幅图直接网上搜索即可,重点是画右边的图,首先根据数据求出抛物线方程,数据为AB=3,OC=4.5,假设令A为坐标原点,得到抛物线方程为y=-2x(x-3),

打开Geogebra,在输入框输入函数f(x)=-2x(x-3),按enter键(有的版本无需enter会直接出现图),绘图区就会出现函数图像

不难得到另一部分抛物线为y=-2x(x+3),同样输入框输入g(x)=-2x(x+3),按enter键,就初具雏形了

这个定义区间的过程,在很多函数作图中会用到,双击代数区的函数,即可修改区间,按function[函数,a,b]的格式即可定义区间,按enter键后,函数图像只显示(a,b)上的一段

原图中是有线段AB和OC的,所以画上线段,调整左边抛物线为虚线

选择测量角度,依次点击D、C、A三点(默认逆时针方向),会出现角度符号

调整直角符号的格式,使之符合原图规范

隐藏点、插入字母文本、隐藏网格和坐标轴,然后就得到和原图一样的图,导出图片即可插入word,或者直接微信截图也可

这是最常见的图形作法,这些常规操作即可满足日常作图需求,对于立体图形,高级版本虽然有立体模式,那些立体图形立体感也很强,但与课本的标准规范不一样,所以还是建议用平面作图的方式画立体图形,效果更佳,而平面几何作图,多摸索摸索,很容易上手,就不展开赘述了

2.解题验证,比如定点问题、零点问题、取值区间问题等等,以下题为例

这是复旦附中高二上学期期末的一道题,椭圆方程易得为x²+4y²=4,我们可以用GGB得到或者验证第三问的答案

根据题目意思,构建场景,设置变量P2A的斜率为k,则变量P2B的斜率为1-k,据此输入P2A、P2B的直线方程,与椭圆的交点即A、B两点,连结AB,得到直线l,为显示清晰,已将l设置为红色

设置显示直线l的踪迹,拉动滑杆,直线随之运动,且留下变化轨迹,可观察到定点为(-2,-1),即得到答案

但凡轨迹问题、定点问题,基本手到擒来,当然,仅限于得到答案,过程还是需要去思考的,当然,很多时候,根据答案可以帮助思考,产生思路

更多时候,作为老师,知道方法,但又懒得算,用GGB找答案,是再好不过了,比如下面这题,太常见了,但确实有点运算量,不如直接GGB,可以给老师带来便利

3.动态导出,制作素材,随时发送、随时演示

每个GGB文件都是可以单独保存的,但不是每一个老师或者学生都安装了GGB,比如我想在微信上向某同学展示上面例子拉动滑竿时的变化趋势,但GGB文件不通用,演示起来不方便,所以,导出gif动图就是一个很好的解决途径

按上述路径导出即可,导出的gif可以像图片一样随意发送上传

2中例题导出后的动图形态

当然,给的例子都是很常见的、很普通的,摸索摸索即能掌握。也会有一些比较难呈现的图形,需要我们动脑筋思考,如何去呈现出来,比如,下面两个动图,如果你能用GGB呈现出来,那么于你而言,高中及以下阶段,基本没有不会呈现的数学动图了,(●’◡’●)

这是早年上海的一道经典高考题,图中有方程曲线、平面立体几何、滑杆动图的综合呈现,这个能完美呈现的话,其他高中阶段作图基本小菜一碟。

——转自沈翔公众号

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