数形结合的利器:GeoGebra

当老师们在进行线性规划、函数拟合和概率统计等知识教学的时候,往往绘制图形的环节就占了课堂的很多时间,这使得课堂的教学容量小、效率低。这时老师们最想要的就是有一个能既快又好的作图工具来打造高效课堂。大家可能会想到几何画板,几何画板侧重于欧氏几何的作图,在代数方面相对较弱,用来处理代数与几何相结合的问题不是它的长处,而且它不能很好地揭示数与形之间的内在联系。此时如果使用GeoGebra软件,则会轻松地解决这个问题。相对几何画板而言,在大陆,GeoGebra使用者比较少,而在港台地区则较为普及。下文将会对它做出简略的介绍,希望老师们也能喜欢上它。
● GeoGebra的主要功能及特点
GeoGebra是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件,同时具有处理代数与几何的功能。一方面它是一个动态的几何软件,可以绘制并修改点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线及函数;另一方面它也有处理代数的能力,可以实现对函数作微分与积分、求方程的解和数据统计等功能。它能做到图形与代数方程的同步变化,实现了真正的动态演示。
安装并打开软件(官方下载地址:http://www.geogebra.org),最新版本是GeoGebra5.0,相比4.0版而言它增加了3D作图工作区,但它的三维效果比起Cabri 3D来还是有差距的,因此不提倡用它和几何画板制作三维课件。软件内设包括简体中文在内的50多个国家的语言,选择简体中文语言,图1所示为软件界面。
其界面包括菜单栏、工具栏、代数区、主绘图区、工作表和输入框。基本的操作方法与几何画板等软件相似,本文不多阐述。这里只说说它特有的一些操作技巧,方便大家能快速入门。
(1)代数区和主绘图区是同步变化的,如果要改变图形的颜色等相关属性,若主绘图区的图形太多不好选取时,可以在代数区里选中相关对象进行设置。
(2)当选中工具栏中的工具后,在工具栏的最右边会显示相关物体工具的名称,单击名称会弹出一个所选中的工具的使用说明对话框。
(3)在输入框的最右边位置有一个按钮,点击按钮会出现一个指令说明区,如图2所示,里面有分类好的所有的输入指令说明,选中其中一个指令时,会出现输入格式说明,十分方便。双击指令或单击“粘贴”按钮,指令会自动粘贴到输入框中,再次单击按钮会隐藏指令说明区。
(4)打开一个做好了的GeoGebra课件,执行“查看/作图过程”命令(或“作图过程导航条”命令),会显示整个课件的制作过程。
GeoGebra还可以导出生成动态网页,成为网页形式课件,这也顺应了网络时代的教学要求,注意浏览器需要安装Java环境才能运行。
● GeoGebra在教学中的简单应用
GeoGebra在函数曲线、概率统计、动态演示等方面有着广泛的应用。使用得当的话,不仅可以减少教师展示教学内容的负担、提高展示内容的精确度,使数学课堂教学收到事半功倍的效果,还可以提高学生的学习兴趣,增强他们解决问题的动手能力,促进其抽象思维能力的发展。下文将通过几个有代表性的例子说明它在教学中的简单应用。
1.GeoGebra在线性规划教学中的应用
利用GeoGebra可以快速绘制出方程、不等式及函数的图形。对于线性规划的不等式方程来说,它没有快速画图方法,只能一个一个地去画,先画可行域,然后画直线并平移,最后在可行域内取最大最小值,没有捷径。这样一来老师们会觉得处理起来很麻烦,单单画图就会花掉10多分钟,因此一节课讲不了几道例题,此时利用GeoGebra进行教学的话,效率会提高很多。
案例1:某工厂生产甲产品和乙产品。已知生产甲种产品1吨需耗A种矿石10吨,B种矿石5吨,煤4吨;生产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨,B种矿石4吨,煤9吨。每1吨甲种产品的利润是600元,每1吨乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨,B种矿石不超过200吨,煤不超过360吨。甲、乙两种产品应各生产多少吨(精确到0.1吨),能使利润总额达到最大值?
这是人教版高中数学教材上的一道例题。首先,在输入框中输入直线方程,如“5x+2y=150”,按“回车”键后,在代数区内会自动出现直线方程“a: 5x+2y=150”,同时在主绘图区内自动画出直线。按同样的方法再绘制出另外两条直线。其次,求出直线的交点,在输入框中输入求交点的指令“Intersect[a, b]”,按“回车”键后,会得到直线a和b的交点A,同理可以绘制出其他的交点。最后,绘制出目标函数直线“L:3x+5y=0”,此时可以移动观察目标函数直线,找到最优解。整个过程一两分钟就可以完成了,图3为其线性规划应用。
2.GeoGebra在函数拟合教学中的应用
如何有效地拟合指数、对数等函数,这对很多人来说是个难题,大多数人会想到用Matlab软件,但Matlab软件太过专业和复杂,让老师们望而生畏。有了GeoGebra后这一切变简单了,它提供了如指数、对数和n次多项式等基本的曲线拟合函数命令,可以直接得出函数的解析式。
案例2:某地区不同身高(单位:cm)的未成年男性的体重(单位:kg)平均值如下表:
根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y与身高x函数关系?
这也是课本上的一道例题。首先,把实验数据输入工作表中,这里分身高(x)和体重(y)两列。其次,全选两列数据,单击鼠标右键,在弹出的对话框中选择“新增/点集”命令,此时,在代数区内会出现一系列的点坐标和点的列表list1。最后,在输入框里输入拟合函数,可以是指数函数“FitExp[list1]”或二次函数命令“FitPoly[list1,2]”等,输完回车后主绘图区内会自动绘制出函数图像。教师可以让学生尝试各种曲线进行拟合,从而得出最佳曲线(如下页图4)。
3.GeoGebra在概率统计教学中的应用
相比几何画板,GeoGebra还有一个优势就是概率统计功能。我们在概率统计教学中会让学生做一些如抛硬币和掷骰子的实验,这可以帮助学生更好地理解定义。但抛硬币要抛很多次才能使实验结果接近理论值,而在课堂上是没有足够的时间做这样大量重复的实验的,只能让学生课后抽时间完成。此时如果使用GeoGebra进行模拟实验,充分利用它的图形、统计功能,就可以很好地解决这个问题。
案例3:掷骰子的实验,通过这个实验研究随机事件A“掷一枚均匀的骰子,3朝上”发生的频率。实验分四步。
(1)将全班分组,每两人分成一小组做掷骰子实验,分别掷骰子20次,一个学生掷骰子另一个学生记下3朝上的频数和频率,并请每个小组将实验结果汇总到组长那里。
(2)分析结果:每个小组做实验20次,3朝上的频率相同吗?为什么实验次数相同然而3朝上的频率不相同?这反映了频率的什么特性呢?引导学生了解频率的偶然性。
(3)观察数据猜想:大量重复实验中随机事件A的频率会有什么变化趋势?
(4)利用GeoGebra进行n次掷骰子实验,当次数越大时,发现3朝上的频率和其他数朝上的频率是相等的,从而验证猜想。图5是进行50次和400次实验的结果,从图形中很直观地比较得出实验次数越多频数越接近的结论。
在这个实验中,教师通过GeoGebra动态演示实验过程,实现了数据和图形同步变化,而且可以让学生观察到每一次实验的结果。这是常规教学和其他教学软件无法做到的。
以上案例只是GeoGebra软件在教学中的简单应用,充分体现了它在数形结合方面的强大功能,限于篇幅,这里不再举例,更多的要靠大家去学习和探索。总而言之,GeoGebra与几何画板和Cabri 3D相比,有自己的优势和不足,因此,在教学过程中学会根据教学内容合理地选择课件制作工具才是最实用和有效的。

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